最低通行费

题目：最低通行费

一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。

后面 N 行，每行 N 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

1≤N≤100

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

解题思路：

​ 从左上角走到右下角的问题，自然想到DP中的[数字三角形模型](线性DP - 小樱桃 (oyto.github.io))。

​ 唯一不同的是，本题是求路径和的最小值，故这里需要先进行初始化。

​ 为什么要进行初始化呢？

​ 因为我们做数字三角形模型是求路径和的最大值，于是我们默认dp数组f[i][j]为0即可，但这里求的是最小值，若我们不进行初始化，最次取的都是0，就会忽略路径上的值，导致答案错误。

​ 初始化

​ 我们可以按照下面的方式进行初始化：

for (int i = 0; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= n; j ++)
            f[i][j] = INF;

​ 为什么要从0开始呢？

• ​ 因为第一行的元素进行状态转移的时候，会用到第0行，故如果不初始化第0行的话，会导致第一行求值出错，进而导致答案错误。

​ 还有一个细节就是，我们需要初始化f[1][1] = g[1][1]，否则起点就会出错。

AC代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            cin >> g[i][j];
    
    for (int i = 0; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= n; j ++)
            f[i][j] = INF;
            
    f[1][1] = g[1][1];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            if (i == 1 && j == 1) continue;
            else f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + g[i][j];
    
    cout << f[n][n];
    
    return 0;
}